Калькулятор доверительного интервала

Доверительный интервал показывает, в каких пределах с заданной надёжностью лежит истинное значение, оценённое по выборке. Он нужен в учебных задачах по статистике, при обработке измерений (интервал для среднего) и опросов (интервал для доли ответивших определённым образом).

Для интервала среднего подготовьте объём выборки, выборочное среднее и стандартное отклонение. В Excel их дают функции СЧЁТ, СРЗНАЧ и СТАНДОТКЛОН.В. Для интервала доли нужны объём выборки и доля в процентах - например, 40, если "да" ответили 40 человек из 100.

Вводите именно стандартное отклонение, а не дисперсию и не стандартную ошибку. Долю - в процентах (40, а не 0,4). Объём выборки должен быть не меньше 2, доля - от 0 до 100%, иначе результата не будет.

Интервал строится по нормальному приближению. Для малых выборок (объём меньше 30) при неизвестной дисперсии правильнее использовать распределение Стьюдента - интервал получится шире. Для доли, близкой к 0 или 100%, при малой выборке формула Вальда неточна, лучше интервал Уилсона. Калькулятор эти варианты не считает.

Результат записывают как интервал [нижняя граница; верхняя граница] с указанием уровня доверия. Чем выше уровень доверия, тем шире интервал.

Интервал для среднего строится вокруг выборочного среднего на несколько стандартных ошибок в обе стороны - их число равно квантилю нормального распределения; интервал для доли - по формуле Вальда.

Стандартная ошибка = Стандартное отклонение / корень(Объём выборки)
Нижняя граница среднего = Выборочное среднее - Квантиль * Стандартная ошибка
Верхняя граница среднего = Выборочное среднее + Квантиль * Стандартная ошибка
Погрешность доли = Квантиль * квадратный корень из (Доля / 100 * (1 - Доля / 100) / Объём выборки) * 100
Границы доли = Доля - погрешность и Доля + погрешность

Стандартная ошибка - стандартная ошибка среднего, Доля - доля в выборке в процентах, Доля / 100 - та же доля в долях единицы. Квантиль - квантиль стандартного нормального распределения для выбранного уровня доверия:

90% - квантиль 1,6449
95% - квантиль 1,9600
99% - квантиль 2,5758

Проверки: объём выборки от 2 и больше, доля от 0 до 100%; вне этих пределов результата нет.

Округление: стандартная ошибка и границы для среднего - 4 знака после запятой, границы доли - 2 знака (в процентах).

Источник: В. Е. Гмурман, "Теория вероятностей и математическая статистика", глава "Интервальные оценки" (выборочное среднее плюс-минус аргумент * сигма / корень(объём выборки), где аргумент находится из условия: функция Лапласа от него равна гамма / 2).

Ограничения: используется нормальное приближение, распределение Стьюдента для малых выборок не применяется; интервал для доли - формула Вальда, неточная при доле около 0 или 100% и малой выборке.

Пример: объём выборки 100, выборочное среднее 50, стандартное отклонение 10, доля 40%, уровень 95%.

Стандартная ошибка = 10 / корень(100) = 1
Среднее: 50 плюс-минус 1,96 * 1 -> [48,0400; 51,9600]
Доля: корень(0,4 * 0,6 / 100) = 0,04899; * 1,96 примерно 0,0960 -> [30,40%; 49,60%]