Балка на основании Винклера

Не переносите в поле основания коэффициент постели в Н/м^3 без приведения к модели балки. Здесь коэффициент в Н/м^2 связывает прогиб в метрах с распределённой реакцией в Н/м. Изгибная жёсткость вводится сразу в Н*м^2. Это линейное двустороннее основание Винклера: отрыв, односторонний контакт и нелинейность грунта не моделируются.

Для конечной балки задаются равномерная нагрузка и один из трёх вариантов: шарниры на обоих концах, защемления на обоих концах или защемление слева и свободный правый конец. Набор сосредоточенных сил используется только в режиме бесконечной балки. Отдельно перечислите сечения, в которых нужен результат: таблица не ищет экстремумы между точками.

Положительные нагрузка и прогиб направлены вниз. Момент равен минус изгибная жёсткость, умноженная на вторую производную прогиба; поперечная сила — производная момента. В точке сосредоточенной силы значения поперечной силы слева и справа различаются на величину нагрузки. Поэтому две колонки силы не являются двумя способами округления одного ответа.

Обозначим изгибную жёсткость через ж, коэффициент основания — через к, прогиб — через п, координату в метрах — через х. Уравнение ж * четвёртая производная п + к * п = распределённая нагрузка. Параметр бета = [к / (4 * ж)]^(1/4) имеет размерность 1/м. Диапазоны: ж от 0,001 до 10^12 Н*м^2, к от 10^-6 до 10^12 Н/м^2; точек расчёта от 1 до 25.

Для конечной балки длина л от 0,01 до 1000 м, нагрузка р от −10^9 до 10^9 Н/м. Координаты сечений должны лежать от 0 до л, причём 0,05 <= бета * л <= 12 и |р / к| <= 10^12. Решение имеет вид п = (р / к) * [1 + с1 * exp(−бета * х) * cos(бета * х) + с2 * exp(−бета * х) * sin(бета * х) + с3 * exp(бета * х − бета * л) * cos(бета * х) + с4 * exp(бета * х − бета * л) * sin(бета * х)].

Четыре коэффициента находятся из системы 4 * 4 с проверкой матрицы. Для шарниров на обоих концах прогиб и момент равны нулю; для двух защемлений нулевые прогиб и его первая производная; для консоли слева нулевые прогиб и первая производная, справа — момент и поперечная сила. Момент = −ж * вторая производная п, сила = −ж * третья производная п. В конечном режиме обе колонки силы совпадают.

Для бесконечной балки задаются от 1 до 50 сил ф от −10^9 до 10^9 Н. Координаты нагрузок и точек — от −10^6 до 10^6 м; произведение числа сил и точек не больше 500. Для одной силы в координате а обозначим расстояние ро = |х − а|. Её вклад: прогиб = ф * бета / (2 * к) * exp(−бета * ро) * [cos(бета * ро) + sin(бета * ро)]; момент = ф / (4 * бета) * exp(−бета * ро) * [cos(бета * ро) − sin(бета * ро)].

При х < а сила сечения равна +(ф / 2) * exp(−бета * ро) * cos(бета * ро), при х > а — противоположному значению. В самой точке нагрузки слева берётся +ф / 2, справа −ф / 2. Вклады всех сил суммируются. Координаты выводятся с 4 знаками, прогиб в метрах — с 8, момент в Н*м и силы в ньютонах — с 6.

Первый независимый вектор: конечная балка на шарнирах, жёсткость 10 000 Н*м^2, основание 400 Н/м^2, длина 2 м, нагрузка 100 Н/м, сечения 0; 1; 2 м. В середине прогиб 0,00206968 м, момент 49,663324 Н*м, сила 0,000000 Н. На левом конце сила +99,470143 Н, на правом −99,470143 Н; прогибы и моменты на концах нулевые. Пример использует этот набор.