Длина дуги гладкой функции

Проверьте производную до расчёта: калькулятор использует введённое выражение и не устанавливает, действительно ли оно является производной вашей функции. Метод подходит для гладкого графика одной переменной на конечном отрезке с непрерывной производной.

Укажите границы в правильном порядке и используйте одну единицу для обеих координат. Разрывы, бесконечные пределы и параметрические кривые эта форма не обрабатывает. Выражения должны давать конечные вещественные значения во всех расчётных узлах.

Результат — длина и индикатор изменения при сгущении сетки. Даже нулевой индикатор не доказывает отсутствие разрыва или быстрых колебаний между узлами. Заданный порог меняет сообщение о результате, но не увеличивает число узлов.

Обозначим нижнюю и верхнюю границы как начало и конец отрезка, а введённую производную — как производную графика. Подынтегральное выражение равно корню из суммы единицы и квадрата этой производной. Длина — его интеграл от начала до конца.

Обе границы лежат от минус 1000 до 1000; начало строго меньше конца. Порог индикатора задаётся от 0,00000001 до 1. Применяются составные формулы Симпсона на 24 и 48 равных интервалах: грубая сетка использует каждый второй узел тонкой, всего вычисляется 49 узлов.

Шаг = (Конец - Начало) / Число интервалов
Сумма = (Шаг / 3) * (Значение слева + Значение справа
  + 4 * Сумма нечётных внутренних значений
  + 2 * Сумма чётных внутренних значений)
Индикатор = Модуль(Сумма48 - Сумма24) / 15

В ответ берётся сумма на 48 интервалах. Если индикатор не больше порога, выводится сообщение о выполнении этого сравнения; иначе предлагается более точный расчёт. Длина и индикатор отображаются с шестью знаками после точки; сравнение выполняется до округления.

В первом контрольном примере функция и производная равны нулю, границы — 0 и 1. Длина получается 1,000000: горизонтальный отрезок имеет ненулевую длину, хотя сама функция нулевая.