Калькулятор НОК и НОД

НОД и НОК нужны в математике 5-6 классов постоянно:

• НОД - чтобы сократить дробь: 24/36 сокращается на НОД(24, 36) = 12 до 2/3;
• НОК - чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю: для 1/24 и 1/36 это 72;
• задачи вида "наибольшее число одинаковых подарков", "через сколько минут автобусы снова встретятся на остановке".

Как ввести данные. Два целых неотрицательных числа - первое и второе. Отрицательные и дробные числа калькулятор не принимает - для них НОД и НОК в школьном смысле не определены. Если нужны НОД и НОК трёх чисел, найдите их для первых двух, затем для результата и третьего числа.

Как читать ответ. НОД - наибольшее число, на которое делятся оба числа без остатка. НОК - наименьшее число, которое делится на оба. Если НОД равен 1, числа взаимно простые, а их НОК равен произведению.

Особые случаи. НОД(0, 12) = 12: ноль делится на любое число. НОК с нулём калькулятор выводит как 0.

Типичные ошибки при ручном счёте.

• Для НОД берут не наименьшие, а наибольшие степени общих простых множителей - это уже НОК.
• Для НОК забывают множители, которые есть только в одном из чисел.

Как проверить. Произведение НОД и НОК равно произведению чисел: 12 * 72 = 24 * 36 = 864.

НОД и НОК определяются в школьном курсе арифметики (Виленкин Н. Я., "Математика 5-6", раздел "НОД и НОК"). Калькулятор находит НОД алгоритмом Евклида, а НОК выражает через НОД.

НОД(Первое, Второе) = НОД(Второе, остаток от деления Первого на Второе)
НОД(Число, 0) = Число
НОК(Первое, Второе) = Первое * Второе / НОД(Первое, Второе)
НОД * НОК = Первое * Второе

Первое и Второе - введённые неотрицательные целые числа. Алгоритм Евклида заменяет большее число остатком от деления на меньшее, пока остаток не станет нулём; последний ненулевой делитель - НОД.

Разложение на простые множители даёт тот же результат: НОД - произведение общих простых множителей в наименьших степенях, НОК - всех множителей в наибольших степенях.

Когда ответа нет. Отрицательное число - ошибка области определения. Дробное число - ошибка типа: нужны целые числа. Пустое поле - расчёт не выполняется.

Пример. Первое число 24, второе 36.

24 = 2^3 * 3, 36 = 2^2 * 3^2
НОД = 2^2 * 3 = 12
НОК = 2^3 * 3^2 = 72
Евклид: остаток от 36 / 24 = 12; остаток от 24 / 12 = 0, значит НОД = 12
Проверка: 12 * 72 = 864 = 24 * 36

Для равных чисел оба ответа равны самому числу: НОД(15, 15) = НОК(15, 15) = 15.