Калькулятор определителя матрицы

Определитель матрицы 3*3 нужен в задачах линейной алгебры и аналитической геометрии: решение системы трёх линейных уравнений методом Крамера, проверка матрицы на вырожденность перед поиском обратной, смешанное произведение векторов и объём параллелепипеда, проверка компланарности трёх векторов.

Как ввести данные. В подписи каждого поля указаны номер строки и номер столбца элемента матрицы. Первая строка матрицы - три верхних поля, вторая - три средних, третья - три нижних. Элементы могут быть целыми, дробными (десятичной записью) и отрицательными; пустое поле нулём не считается - ноль нужно ввести явно.

Размер матрицы. Калькулятор работает только с матрицами 3*3. Определитель 2*2 можно посчитать в нём же: введите матрицу 2*2 в левый верхний угол, в поле "Строка 3, столбец 3" - 1, остальные элементы третьей строки и третьего столбца - 0. Определитель такой матрицы равен определителю 2*2.

Как использовать ответ.

• Определитель равен 0 - матрица вырожденная: обратной матрицы нет, система уравнений с такой матрицей не имеет единственного решения, три вектора компланарны.
• Определитель не равен 0 - обратная матрица существует, система имеет единственное решение.

Типичные ошибки при ручном счёте.

• Теряют знак у второго слагаемого разложения по первой строке: знаки чередуются +, -, +.
• Путают строки и столбцы при вводе - определитель от транспонирования не меняется, но при записи решения ошибка останется.

Как проверить. Разложите определитель по другой строке или столбцу - результат должен совпасть. Если две строки пропорциональны, определитель обязан быть нулём.

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по правилу Саррюса (правилу треугольников), что равносильно разложению по первой строке (Беклемишев Д. В., "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры").

Определитель = Э11 * (Э22 * Э33 - Э23 * Э32)
 - Э12 * (Э21 * Э33 - Э23 * Э31)
 + Э13 * (Э21 * Э32 - Э22 * Э31)

Э - элемент матрицы: первая цифра индекса - номер строки, вторая - номер столбца. Выражения в скобках - миноры элементов первой строки, то есть определители 2*2, оставшиеся после вычёркивания строки и столбца элемента. Раскрыв скобки, получим правило Саррюса: сумма трёх произведений по главной диагонали и параллельным ей "треугольникам" минус сумма трёх произведений по побочной диагонали и её "треугольникам".

Определитель = Э11 * Э22 * Э33 + Э12 * Э23 * Э31 + Э13 * Э21 * Э32
 - Э13 * Э22 * Э31 - Э11 * Э23 * Э32 - Э12 * Э21 * Э33

Точность. Результат выводится с 6 знаками после запятой. Для целых элементов определитель - целое число.

Когда ответа нет. Только если не заполнен хотя бы один из девяти элементов - калькулятор не подставляет нули.

Пример. Матрица со строками (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 10).

Определитель = 1 * (5 * 10 - 6 * 8) - 2 * (4 * 10 - 6 * 7) + 3 * (4 * 8 - 5 * 7)
 = 1 * 2 - 2 * (-2) + 3 * (-3)
 = 2 + 4 - 9 = -3

Для матрицы со строками (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1) вторая строка вдвое больше первой, и определитель равен 0.