Калькулятор бинома Ньютона

Бином Ньютона - формула разложения суммы двух слагаемых в натуральной степени в сумму членов. Задачи вида "найдите третий член разложения", "найдите коэффициент при икс^4" встречаются в алгебре 10-11 класса и на первом курсе.

Как ввести данные.

• Первое и второе слагаемые бинома - числа. Для (1 - 2)^5 второе слагаемое равно -2.
• Степень - натуральная.
• Номер - от 0 до степени; калькулятор выводит член с порядковым номером "Номер + 1". Первый член - Номер = 0, третий - Номер = 2.

Как читать результат. Биномиальный коэффициент, значение члена, вся степень бинома целиком, сумма коэффициентов (2 в степени Степень) и число членов (Степень + 1).

Коэффициент при степени неизвестного. Калькулятор работает с числами. Для разложения (икс + число)^Степень коэффициент при икс в степени (Степень - Номер) равен числу сочетаний из Степени по Номеру, умноженному на число в степени Номер: введите первое слагаемое 1, второе - это число, и член разложения будет этим коэффициентом.

Типичные ошибки.

• Путают порядковый номер члена и поле "Номер": третий член - это Номер = 2.
• Теряют знак у отрицательного второго слагаемого в нечётных степенях.

Как проверить. Сумма всех членов разложения равна всей степени бинома; сумма коэффициентов - 2 в степени Степень.

Формула бинома Ньютона (Алимов Ш. А. и др., "Алгебра и начала анализа 10-11", п. "Бином Ньютона"; Виленкин Н. Я., "Комбинаторика").

(Первое + Второе)^Степень = сумма членов разложения для Номера от 0 до Степени
Член = Коэффициент * Первое^(Степень - Номер) * Второе^Номер
Коэффициент = число сочетаний из Степени по Номеру
 = Степень! / (Номер! * (Степень - Номер)!)
Сумма коэффициентов = 2^Степень, число членов = Степень + 1

Первое и Второе - слагаемые бинома; Член - член разложения с порядковым номером "Номер + 1".

Точность. Коэффициенты - целые, член и степень - 6 знаков после запятой.

Когда ответа нет. Номер больше степени - такого члена нет, калькулятор выдаёт ошибку. Дробная или отрицательная степень - не выводится ни один результат. Дробный номер - не считаются коэффициент и член (ошибка типа).

Примеры.

(2 + 3)^4, Номер 2: сочетаний из 4 по 2 = 6, третий член = 6 * 2^2 * 3^2 = 216,
 вся степень = 625, сумма коэффициентов 2^4 = 16
Все члены: 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625
(1,5 + 2)^3, Номер 0: первый член = 1,5^3 = 3,375
(1 - 2)^5, Номер 3: сочетаний из 5 по 3 = 10, четвёртый член = 10 * 1 * (-8) = -80,
 вся степень (-1)^5 = -1