Калькулятор формулы Бернулли

Формула Бернулли - основная формула для серии одинаковых независимых испытаний: сколько раз выпадет орёл, сколько бракованных деталей в партии, сколько выстрелов попадут в цель, сколько вопросов теста угадаешь наугад.

Как ввести данные.

• Число испытаний - целое.
• Число успехов - сколько успехов, целое от 0 до числа испытаний.
• Вероятность успеха в одном испытании - от 0 до 1: 0,5 для монеты, 1/6 примерно 0,1667 для шестёрки на кубике.

Как читать результат.

• Вероятность ровно заданного числа успехов - первый результат.
• Наивероятнейшее число успехов - калькулятор выводит наименьшее целое, не меньшее величины "число испытаний * вероятность успеха - вероятность неудачи". Если эта величина - целое число, наивероятнейших чисел два: она сама и она же плюс 1 (то есть "число испытаний * вероятность успеха + вероятность успеха").
• Математическое ожидание (число испытаний * вероятность успеха) и дисперсия (то же * вероятность неудачи) - среднее число успехов и разброс.

Вероятность неудачи - это 1 - вероятность успеха.

"Не менее" и "не более". Такие вероятности - сумма вероятностей для нескольких чисел успехов. Посчитайте каждую и сложите или используйте противоположное событие: вероятность хотя бы одного успеха = 1 - вероятность нуля успехов.

Уравнение Бернулли. Дифференциальное уравнение Бернулли - другой объект, этот калькулятор его не решает.

Типичные ошибки.

• Забывают множитель "число сочетаний" - число способов расположить успехи среди испытаний.
• Применяют формулу к зависимым испытаниям (выбор без возвращения).

Формула Бернулли, наивероятнейшее число успехов, математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения - по учебнику Гмурмана В. Е. ("Теория вероятностей и математическая статистика", гл. 5 и 7).

Вероятность неудачи = 1 - Вероятность успеха
Сочетаний = число сочетаний из Испытаний по Успехам
Вероятность = Сочетаний * Вероятность успеха в степени Успехов * Вероятность неудачи в степени (Испытаний - Успехов)
Испытаний * Вероятность успеха - Вероятность неудачи <= Наивероятнейшее <= Испытаний * Вероятность успеха + Вероятность успеха
Математическое ожидание = Испытаний * Вероятность успеха
Дисперсия = Испытаний * Вероятность успеха * Вероятность неудачи

Где Испытаний - число испытаний, Успехов - число успехов. Число сочетаний = факториал числа испытаний / (факториал числа успехов * факториал разности "испытаний - успехов"). Наивероятнейшее число калькулятор выводит как величину "Испытаний * Вероятность успеха - Вероятность неудачи", округлённую вверх до целого.

Точность. Вероятность - 8 знаков после запятой, ожидание и дисперсия - 4.

Когда ответа нет. Число успехов больше числа испытаний - нельзя получить больше успехов, чем испытаний: ошибка области определения. Вероятность вне [0; 1] - это не вероятность, калькулятор сообщает, что значение вне диапазона. Дробное число испытаний или успехов - ошибка типа.

Пример 1. 5 бросков монеты, 2 орла.

Сочетаний из 5 по 2 = 10
Вероятность = 10 * 0,5^2 * 0,5^3 = 10 / 32 = 0,3125
Ожидание = 2,5, Дисперсия = 1,25

Пример 2. 10 испытаний, 3 успеха, вероятность успеха 0,2: сочетаний из 10 по 3 = 120, вероятность = 120 * 0,008 * 0,2097152 примерно 0,20132659; 10 * 0,2 - 0,8 = 1,2 - наивероятнейшее число 2. Пример 3. 4 испытания, 0 успехов, вероятность успеха 0,1: вероятность = 0,9^4 = 0,6561.