Калькулятор кубических уравнений

Кубические уравнения встречаются в задачах профильной математики, в физике и инженерных расчётах. Школьные примеры обычно решаются подбором целого корня и делением многочлена, но общий способ - формула Кардано; калькулятор применяет его и для "неудобных" коэффициентов.

Как ввести данные. Приведите уравнение к виду "К3 * икс^3 + К2 * икс^2 + К1 * икс + К0 = 0" и введите коэффициенты со знаками: при икс в кубе, при икс в квадрате, при икс и свободный член. Отсутствующие члены - нулями: икс^3 - 1 = 0 -> коэффициенты 1, 0, 0, -1. Коэффициент при икс в кубе не может быть нулём.

Как читать результат.

• Коэффициенты приведённого уравнения - "тау^3 + Линейный * тау + Свободный = 0".
• Дискриминант - больше 0: один действительный корень и два комплексных; меньше 0: три различных действительных корня; равен 0: кратные корни.
• Первый, второй и третий корни - действительные корни. Если корень один, поля второго и третьего корня показывают ошибку: остальные корни комплексные.

Корни выводятся с 6 знаками; из-за вычислений с плавающей точкой целый корень может выглядеть как 1,000000 или -3,000000.

Типичные ошибки.

• Теряют знак коэффициента.
• Вводят уравнение, не перенеся все члены в левую часть.

Как проверить. Подставьте корни в уравнение, или по теореме Виета: сумма трёх корней = -К2 / К3, их произведение = -К0 / К3.

Решение кубического уравнения - по справочнику Бронштейна И. Н. и Семендяева К. А., раздел "Алгебраические уравнения третьей степени". Подстановка "икс = тау - К2 / (3 * К3)" приводит уравнение к виду "тау^3 + Линейный * тау + Свободный = 0".

Линейный = (3 * К3 * К1 - К2^2) / (3 * К3^2)
Свободный = (2 * К2^3 - 9 * К3 * К2 * К1 + 27 * К3^2 * К0) / (27 * К3^3)
Дискриминант = (Свободный / 2)^2 + (Линейный / 3)^3
Дискриминант больше 0 или Линейный = 0:
 тау = кубический корень из (-Свободный / 2 + корень(Дискриминант)) + кубический корень из (-Свободный / 2 - корень(Дискриминант)) (Кардано)
Иначе: тау = 2 * корень(-Линейный / 3) * cos(1/3 * arccos(3 * Свободный / (2 * Линейный) * корень(-3 / Линейный)) - 2пи * Номер / 3)
 Номер = 0, 1, 2 - первый, второй и третий корень
Икс = тау - К2 / (3 * К3)

К3, К2, К1, К0 - коэффициенты при икс в кубе, при икс в квадрате, при икс и свободный член; Линейный и Свободный - коэффициенты приведённого уравнения; тау - его корень. Кубические корни из отрицательных чисел берутся со знаком: кубический корень из (-8) = -2.

Точность. Коэффициенты приведённого уравнения и корни - 6 знаков после запятой, дискриминант - 8. Число корней определяется с допуском 10^-12.

Когда ответа нет. Коэффициент при икс в кубе равен 0 - уравнение не кубическое (это квадратное), калькулятор сообщает о делении на ноль. При одном действительном корне второй и третий корни не выводятся.

Примеры.

икс^3 - 6 * икс^2 + 11 * икс - 6 = 0: Линейный -1, Свободный 0, Дискриминант -1/27 -> корни 3, 2, 1
икс^3 - 1 = 0: Линейный 0, Свободный -1, Дискриминант 1/4 -> корень 1 (остальные комплексные)
(икс - 1)^3 = 0: Линейный = Свободный = 0 -> корень 1 трижды
2 * икс^3 - 4 * икс^2 - 22 * икс + 24 = 0: корни 4, 1, -3