Калькулятор метода Крамера

Системы трёх линейных уравнений - типовая задача первого курса по линейной алгебре и задачи на смеси, сплавы и планирование. Метод Крамера удобен для проверки: все определители видны, и ошибку легко найти.

Как ввести систему. Приведите каждое уравнение к виду "коэффициент * первая неизвестная + коэффициент * вторая + коэффициент * третья = свободный член". В строке каждого уравнения четыре поля слева направо: коэффициенты при первой, второй и третьей неизвестных и свободный член.

• Первая + Вторая + Третья = 6 -> 1, 1, 1, 6.
• 2 * Вторая + 5 * Третья = -4 -> 0 (первой неизвестной нет), 2, 5, -4.
• Все 12 полей обязательны, ноль вводится явно.

Как читать ответ. Если главный определитель изменение не равен нулю, система имеет единственное решение: каждая неизвестная равна своему определителю, делённому на изменение. Если изменение = 0, метод Крамера неприменим: решений либо нет, либо бесконечно много - это выясняют методом Гаусса.

Типичные ошибки.

• Пропускают отсутствующую переменную вместо того, чтобы ввести ноль.
• Заменяют не тот столбец: для определителя первой неизвестной заменяется столбец коэффициентов при первой неизвестной.
• Теряют знак во втором слагаемом разложения определителя.

Как проверить. Подставьте найденные неизвестные во все три уравнения. Метод Гаусса должен дать тот же ответ.

Правило Крамера (Беклемишев Д. В., "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры"; Ильин В. А., Позняк Э. Г., "Линейная алгебра", гл. 1). Определители 3*3 раскладываются по первой строке.

изменение = К11 * (К22 * К33 - К23 * К32) - К12 * (К21 * К33 - К23 * К31) + К13 * (К21 * К32 - К22 * К31)
изменение1 - изменение, где столбец (К11, К21, К31) заменён на (С1, С2, С3)
изменение2 - столбец (К12, К22, К32) заменён на (С1, С2, С3)
изменение3 - столбец (К13, К23, К33) заменён на (С1, С2, С3)
Первая = изменение1 / изменение, Вторая = изменение2 / изменение, Третья = изменение3 / изменение, изменение != 0

К - коэффициент: первая цифра индекса - номер уравнения, вторая - номер неизвестной; С - свободный член уравнения. изменение1, изменение2, изменение3 - определители первой, второй и третьей неизвестных.

Точность. Все значения - 6 знаков после запятой.

Когда ответа нет. изменение = 0 - строки линейно зависимы, единственного решения нет: определители выводятся, неизвестные - нет (деление на ноль). Пустое поле - расчёт не выполняется.

Пример. Первая + Вторая + Третья = 6; 2 * Вторая + 5 * Третья = -4; 2 * Первая + 5 * Вторая - Третья = 27.

изменение = 1 * (-2 - 25) - 1 * (0 - 10) + 1 * (0 - 4) = -27 + 10 - 4 = -21
изменение1 = -105, изменение2 = -63, изменение3 = 42
Первая = 5, Вторая = 3, Третья = -2
Проверка: 5 + 3 - 2 = 6; 6 - 10 = -4; 10 + 15 + 2 = 27