Калькулятор нормального распределения

Нормальное распределение описывает рост и вес людей, ошибки измерений, размеры деталей, результаты тестов. Калькулятор заменяет таблицы функции Лапласа и стандартного нормального распределения в задачах по теории вероятностей.

Как ввести данные.

• Среднее мк и стандартное отклонение сигма распределения. Для стандартного нормального - 0 и 1.
• Значение - точка, для которой нужна вероятность, или левая граница интервала.
• Правая граница - необязательно; нужна для вероятности попадания величины между значением и правой границей.

Как читать результат.

• Нормированное отклонение - на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
• Вероятность, что величина меньше значения, равна фи от нормированного отклонения - это функция распределения.
• фи0 - функция Лапласа в форме учебника Гмурмана: фи0 = фи - 0,5. В других учебниках функцией Лапласа называют фи или 2фи0 - сверьтесь со своим определением.

Пример задачи. IQ распределён нормально со средним 100 и сигма = 15. Доля людей с IQ от 85 до 115 - 68,3% ("правило одной сигмы").

Типичные ошибки.

• Вводят дисперсию вместо стандартного отклонения.
• Путают две формы функции Лапласа и получают ответ, отличающийся на 0,5 или вдвое.

Правило трёх сигм. В интервал мк плюс-минус 3сигма попадает 99,73% значений.

Формулы - по учебнику Гмурмана В. Е., "Теория вероятностей и математическая статистика", гл. 12. Функция ошибок вычисляется приближением Абрамовица - Стиган 7.1.26 (Абрамовиц М., Стиган И., "Справочник по специальным функциям"; страница справочника).

Отклонение = (Значение - мк) / сигма
фи = 1/2 * (1 + функция ошибок от (Отклонение / корень(2)))
Вероятность больше значения = 1 - фи
фи0 = фи - 0,5
Вероятность интервала = фи от отклонения правой границы - фи от отклонения значения

Значение - точка или левая граница; мк - среднее; сигма - стандартное отклонение; Отклонение - нормированное отклонение; фи - функция стандартного нормального распределения (вероятность, что величина меньше значения). Погрешность приближения для фи - не более 7,5 * 10^-8, этого достаточно для 6 знаков после запятой.

Точность. Нормированное отклонение - 4 знака после запятой, вероятности - 6.

Когда ответа нет. сигма = 0 - распределение с нулевым разбросом не определено, калькулятор сообщает о делении на ноль. Без правой границы не выводится только вероятность интервала.

Примеры.

мк = 0, сигма = 1, значение 1,96: фи = 0,975002, вероятность больше = 0,024998
мк = 0, сигма = 1, значение 1: фи0 = 0,341345
мк = 100, сигма = 15, от 85 до 115: отклонения -1 и 1, вероятность = 0,682689
мк = 50, сигма = 10, значение 50: отклонение 0, фи = 0,5