Калькулятор обратной матрицы

Обратная матрица нужна для решения систем линейных уравнений матричным способом (столбец неизвестных = обратная матрица * столбец свободных членов), в аналитической геометрии и прикладных расчётах. На экзамене важно не только получить ответ, но и показать алгебраические дополнения - калькулятор выводит их все.

Как ввести матрицу. Первая цифра в подписи поля - номер строки, вторая - номер столбца. Все девять элементов обязательны, ноль вводится явно. Числа могут быть дробными и отрицательными.

Матрица 2*2. Введите её в левый верхний угол, элемент третьей строки и третьего столбца = 1, остальные элементы третьей строки и третьего столбца - 0. Левый верхний блок 2*2 обратной матрицы - искомый ответ.

Как читать результат.

• Определитель - если он равен 0, обратной матрицы нет.
• Алгебраические дополнения - со знаком: плюс, если сумма номеров строки и столбца чётная, минус - если нечётная.
• Элементы обратной матрицы - элемент в строке 1 и столбце 2 равен дополнению строки 2 и столбца 1, делённому на определитель, и так для всех: матрица дополнений транспонируется.

Типичные ошибки.

• Забывают транспонировать матрицу дополнений.
• Теряют знак минус у дополнений на местах (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2).

Как проверить. Умножьте исходную матрицу на обратную - должна получиться единичная. Проверьте хотя бы первую строку.

Обратная матрица через присоединённую: обратная = транспонированная матрица алгебраических дополнений, делённая на определитель (Беклемишев Д. В., "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры", гл. "Матрицы и определители"; Ильин В. А., Позняк Э. Г., "Линейная алгебра").

Д11 = Э22 * Э33 - Э23 * Э32 Д12 = -(Э21 * Э33 - Э23 * Э31) Д13 = Э21 * Э32 - Э22 * Э31
Д21 = -(Э12 * Э33 - Э13 * Э32) Д22 = Э11 * Э33 - Э13 * Э31 Д23 = -(Э11 * Э32 - Э12 * Э31)
Д31 = Э12 * Э23 - Э13 * Э22 Д32 = -(Э11 * Э23 - Э13 * Э21) Д33 = Э11 * Э22 - Э12 * Э21
Определитель = Э11 * Д11 + Э12 * Д12 + Э13 * Д13
Обратная (строка, столбец) = Д (столбец, строка) / Определитель, например Обратная12 = Д21 / Определитель

Э - элемент исходной матрицы, Д - его алгебраическое дополнение; первая цифра индекса - номер строки, вторая - номер столбца.

Точность. Все значения - 6 знаков после запятой.

Когда ответа нет. Определитель равен 0 - матрица вырожденная, обратной не существует: определитель и дополнения выводятся, элементы обратной матрицы - нет (деление на ноль). Пустой элемент - расчёт не выполняется.

Пример. Строки (1, 2, 3), (0, 1, 4), (5, 6, 0).

Д11 = -24, Д12 = 20, Д13 = -5 -> Определитель = -24 + 40 - 15 = 1
Д21 = 18, Д22 = -15, Д23 = 4
Д31 = 5, Д32 = -4, Д33 = 1
Обратная: строки (-24, 18, 5), (20, -15, -4), (-5, 4, 1)
Проверка: (1, 2, 3) * (-24, 20, -5) = 1; (1, 2, 3) * (18, -15, 4) = 0