Калькулятор площади четырёхугольника с разными сторонами

Участок, комната или грядка редко бывают идеальным прямоугольником. Если измерены четыре стороны, площадь зависит ещё и от углов: четырёхугольник с одними и теми же сторонами можно "сплющить", и площадь уменьшится. Поэтому по одним сторонам однозначного ответа нет - нужен угол или диагональ.

Как ввести данные.

• Четыре стороны - по порядку обхода, в метрах. Первая и третья, вторая и четвёртая - противолежащие стороны.
• Сумма двух противолежащих углов - угла между четвёртой и первой сторонами и угла между второй и третьей, в градусах. Для прямоугольника, трапеции, вписанного в окружность четырёхугольника - 180 градусов.
• Если углы неизвестны, смотрите результат "Наибольшая площадь при этих сторонах" - поле углов для него не нужно. По умолчанию в поле углов стоит 180 градусов, и тогда площадь совпадает с наибольшей.

Как читать результат. Площадь - точная для заданных сторон и углов. Наибольшая площадь - для четырёхугольника, вписанного в окружность; реальная площадь не может быть больше. Для участка, близкого к прямоугольному, это хорошая оценка сверху.

Точнее - через диагональ. Если можно измерить диагональ, разбейте четырёхугольник на два треугольника и посчитайте каждый по трём сторонам (формула Герона) - это не требует углов.

Типичные ошибки.

• Вводят стороны не по порядку обхода - противолежащие стороны меняются, площадь меняется.
• Вводят сумму соседних углов вместо противолежащих.
• Для невыпуклой (вогнутой) фигуры применяют формулу выпуклого четырёхугольника.

Площадь выпуклого четырёхугольника по сторонам и углам даёт формула Бретшнайдера; при сумме противолежащих углов 180 градусов она переходит в формулу Брахмагупты - наибольшая площадь при заданных сторонах (статья о формуле Бретшнайдера на mathworld.wolfram.com).

Полупериметр = (Первая + Вторая + Третья + Четвёртая) / 2
Разности = (Полупериметр - Первая) * (Полупериметр - Вторая) * (Полупериметр - Третья) * (Полупериметр - Четвёртая)
Площадь = квадратный корень из (Разности - Первая * Вторая * Третья * Четвёртая * cos^2(Сумма углов / 2))
Наибольшая площадь = корень(Разности)

• Первая, Вторая, Третья, Четвёртая - стороны по порядку обхода; Разности - произведение четырёх разностей полупериметра и сторон;
• Сумма углов - сумма двух противолежащих углов, градусы (для косинуса переводится в радианы);
• при сумме углов 180 градусов косинус равен нулю, и площадь равна наибольшей.

Точность. Полупериметр и площади - 3 знака после запятой.

Когда ответа нет. Если одна сторона не меньше суммы трёх других, четырёхугольник не существует - под корнем отрицательное число, калькулятор выдаёт ошибку области определения. То же бывает, если заданная сумма углов невозможна при таких сторонах. Если сумму углов не указать, берётся 180 градусов - тогда площадь совпадает с наибольшей.

Пример 1. Прямоугольник 3 * 4 (стороны 3, 4, 3, 4), углы 90 градусов + 90 градусов = 180 градусов.

Полупериметр = 7
Площадь = корень(4 * 3 * 4 * 3 - 144 * cos^2 90 градусов) = корень(144) = 12 кв. м

Пример 2. Ромб со стороной 2 и углом 60 градусов: сумма противолежащих углов 120 градусов, полупериметр 4, площадь = корень(16 - 16 * cos^2 60 градусов) = корень(12) примерно 3,464 кв. м, наибольшая площадь (квадрат) - 4 кв. м. Пример 3. Стороны 5, 6, 7, 8 и 180 градусов: полупериметр 13, площадь = корень(8 * 7 * 6 * 5) = корень(1680) примерно 40,988 кв. м.