Калькулятор площади усечённой пирамиды

Площадь поверхности усечённой пирамиды нужна в задачах по стереометрии 11 класса и на практике: сколько листа уйдёт на бункер или воронку, сколько облицовки на постамент, какой площади будет обшивка вытяжного зонта.

Как ввести данные.

• Число сторон основания - целое от 3: 4 для квадратных оснований, 6 для шестиугольных.
• Стороны нижнего и верхнего оснований - оба основания правильные многоугольники с одинаковым числом сторон.
• Высота - расстояние между плоскостями оснований по перпендикуляру, не апофема и не боковое ребро.
• Единицы одинаковые; поля подписаны сантиметрами.

Как читать результат. Апофема - высота боковой грани-трапеции. Боковая поверхность - все боковые грани, полная - плюс оба основания. Для открытого бункера без крышки сложите боковую поверхность и нижнее основание.

Только правильная пирамида. Для прямоугольных оснований с разными сторонами формулы апофемы не подходят - грани разные. Объём такой пирамиды можно посчитать по площадям в калькуляторе объёма усечённой пирамиды.

Типичные ошибки.

• Вводят длину бокового ребра вместо высоты.
• Считают боковую поверхность как полусумму периметров, умноженную на высоту, а не на апофему.

Как проверить. При равных основаниях пирамида становится призмой: апофема равна высоте, боковая поверхность - периметру, умноженному на высоту.

Формулы правильной усечённой пирамиды (Атанасян Л. С. и др., "Геометрия 10-11", гл. "Многогранники").

Радиус = Сторона / (2 * tg(пи / Число сторон)) радиус вписанной окружности основания
Апофема = квадратный корень из (Высота^2 + (Радиус нижний - Радиус верхний)^2)
Боковая = Число сторон * (Сторона нижняя + Сторона верхняя) / 2 * Апофема
Боковая = 1/2 * (Периметр нижний + Периметр верхний) * Апофема
Основание = Число сторон * Сторона^2 / (4 * tg(пи / Число сторон))
Полная = Боковая + Основание нижнее + Основание верхнее
Объём = Высота / 3 * (Основание нижнее + Основание верхнее + корень(Основание нижнее * Основание верхнее))

Число сторон - у каждого основания; Сторона нижняя и Сторона верхняя - стороны нижнего и верхнего оснований; Высота - расстояние между основаниями; Периметр - периметры оснований; Основание - площадь основания.

Точность. Все результаты - 4 знака после запятой.

Когда ответа нет. Число сторон меньше 3 - многоугольника нет, калькулятор сообщает, что значение вне диапазона; дробное число сторон - ошибка типа. Пустое поле - расчёт не выполняется.

Пример. Квадратные основания 4 и 2, высота 3.

Радиусы 2 и 1, Апофема = корень(9 + 1) = корень(10) примерно 3,1623
Боковая = 4 * (4 + 2) / 2 * корень(10) = 12корень(10) примерно 37,9473
Основания 16 и 4, Полная примерно 57,9473
Объём = 3 / 3 * (16 + 4 + 8) = 28

Шестиугольная, стороны 3 и 1, высота 4: апофема = корень(19) примерно 4,3589, боковая поверхность примерно 52,3068, полная примерно 78,2875, объём примерно 45,0333.