Калькулятор ранга матрицы

Ранг матрицы - наибольшее число линейно независимых строк (или столбцов). Он нужен, чтобы исследовать систему линейных уравнений на совместность (теорема Кронекера - Капелли), определить размерность пространства, проверить линейную зависимость векторов.

Как ввести матрицу. Первая цифра в подписи поля - номер строки, вторая - номер столбца. Все девять элементов обязательны, ноль вводится явно. Числа могут быть дробными и отрицательными.

Как читать результат.

• Ранг 3 - определитель не равен нулю, строки независимы, матрица невырожденная.
• Ранг 2 - определитель равен нулю, но есть ненулевой минор второго порядка: одна строка выражается через две другие.
• Ранг 1 - все строки пропорциональны одной.
• Ранг 0 - нулевая матрица.

Калькулятор показывает и промежуточные величины: определитель, наибольший по модулю минор второго порядка и наибольший по модулю элемент.

Дробные элементы. Числа меньше 10^-9 по модулю калькулятор считает нулём, чтобы погрешность округления не завышала ранг.

Для прямоугольных матриц. Матрицу 2*3 можно дополнить до 3*3 нулевой строкой - ранг не изменится.

Типичные ошибки.

• Проверяют не все миноры второго порядка: их девять.
• Путают ранг с определителем: при ненулевом определителе ранг 3 независимо от его величины.

Ранг - наибольший порядок ненулевого минора матрицы (теорема о базисном миноре; Беклемишев Д. В., "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры", гл. "Ранг матрицы"; Ильин В. А., Позняк Э. Г., "Линейная алгебра").

Определитель = Э11 * (Э22 * Э33 - Э23 * Э32) - Э12 * (Э21 * Э33 - Э23 * Э31) + Э13 * (Э21 * Э32 - Э22 * Э31)
Минор = большее из модулей всех 9 миноров 2*2
Элемент = большее из модулей всех 9 элементов
Ранг = 3, если модуль определителя больше 10^-9
 = 2, иначе если Минор больше 10^-9
 = 1, иначе если Элемент больше 10^-9
 = 0 в остальных случаях

Э - элемент матрицы: первая цифра индекса - номер строки, вторая - номер столбца. Минор 2*2 - определитель, составленный из элементов двух строк и двух столбцов.

Точность. Определитель, минор и элемент - 6 знаков после запятой, ранг - целое число.

Когда ответа нет. Если не заполнен хотя бы один элемент, ранг не считается.

Пример 1. Строки (2, 0, 1), (1, 3, 2), (1, 1, 2).

Определитель = 2 * (6 - 2) - 0 + 1 * (1 - 3) = 8 - 2 = 6 != 0 -> ранг 3

Пример 2. Строки (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9): определитель 0, минор из первых двух строк и столбцов 1 * 5 - 2 * 4 = -3 != 0 - ранг 2. Строки (1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9) пропорциональны - ранг 1.