Калькулятор теоремы Виета

Теорема Виета позволяет решать квадратные уравнения подбором, без дискриминанта, проверять найденные корни и составлять уравнение по его корням. Это задачи алгебры 8 класса и частые задания ОГЭ и ЕГЭ.

Два режима.

• Коэффициенты - калькулятор даёт сумму и произведение корней по Виету, коэффициенты приведённого уравнения и сами корни.
• Корни - калькулятор составляет приведённое уравнение (с единицей при квадрате неизвестного) с этими корнями.

Как ввести коэффициенты. Приведите уравнение к виду "Старший коэффициент * Неизвестное^2 + Второй коэффициент * Неизвестное + Свободный член = 0" и выпишите коэффициенты со знаками: для Неизвестное^2 - 5 * Неизвестное + 6 = 0 старший коэффициент 1, второй -5, свободный член 6.

Если корней нет. При отрицательном дискриминанте сумма и произведение по формулам Виета всё равно выводятся - они верны и для комплексных корней, - а поля корней показывают ошибку: действительных корней нет.

Подбор корней в уме. Для Неизвестное^2 - 7 * Неизвестное + 12 = 0 ищем два числа с суммой 7 и произведением 12 - это 3 и 4.

Типичные ошибки.

• Забывают знак: сумма корней равна второму коэффициенту, делённому на старший, со знаком минус, а не без него.
• Применяют формулы для приведённого уравнения, когда старший коэффициент не равен 1, не разделив на него.

Теорема Виета и обратная к ней (Макарычев Ю. Н. и др., "Алгебра. 8 класс", п. "Теорема Виета").

Старший * Неизвестное^2 + Второй * Неизвестное + Свободный = 0
Сумма корней = -Второй / Старший
Произведение корней = Свободный / Старший
Приведённое: Неизвестное^2 + Средний коэффициент * Неизвестное + Свободный член = 0
Средний коэффициент = -Сумма корней, Свободный член = Произведение корней
Корень 1, 2 = (Сумма плюс-минус корень(Сумма^2 - 4 * Произведение)) / 2

Старший, Второй, Свободный - коэффициенты исходного уравнения; Сумма и Произведение - сумма и произведение корней. Сумма^2 - 4 * Произведение - дискриминант приведённого уравнения. В режиме "корни" сумма и произведение считаются прямо по введённым корням.

Точность. Все результаты - 6 знаков после запятой.

Когда ответа нет. Старший коэффициент равен 0 - уравнение не квадратное, теорема неприменима, калькулятор сообщает о делении на ноль. Сумма^2 - 4 * Произведение меньше 0 - действительных корней нет, поля корней показывают ошибку, сумма и произведение выводятся. Пустое поле - расчёт не выполняется.

Пример 1. Неизвестное^2 - 5 * Неизвестное + 6 = 0.

Сумма корней = 5, Произведение корней = 6
Корни: 3 и 2 (3 + 2 = 5, 3 * 2 = 6)

Пример 2. 2 * Неизвестное^2 + 3 * Неизвестное - 2 = 0: сумма -1,5, произведение -1, корни 0,5 и -2. Пример 3. Корни 2 и -7: средний коэффициент 5, свободный член -14, уравнение Неизвестное^2 + 5 * Неизвестное - 14 = 0.