Калькулятор теории вероятности

Задачи на классическую вероятность есть в ОГЭ и ЕГЭ по математике, в курсе теории вероятностей 7-9 классов и в вузе. Калькулятор помогает проверить ответ и быстро оценить шансы в серии повторяющихся испытаний: выпадение числа на кубике, выигрыш в розыгрыше, брак в партии.

Как ввести данные.

• Число благоприятных исходов - сколько вариантов вас устраивает.
• Число всех равновозможных исходов.
• Сколько раз повторяется испытание - число независимых повторений; нужно для двух последних результатов.

Пример. Вероятность выбросить шестёрку на кубике: благоприятных исходов 1, всех 6. Вероятность вытащить красный шар из 3 красных и 7 белых: благоприятных 3, всех 10.

Когда формула применима. Классическая формула "вероятность = благоприятные / все исходы" работает, только если все исходы равновозможны: честный кубик, честная монета, случайный выбор из урны. Для несимметричных событий так считать нельзя.

Серия испытаний. "Хотя бы один раз" и "все разы подряд" считаются для независимых испытаний с одинаковой вероятностью: повторные броски кубика, выбор с возвращением. Для выбора без возвращения (карты не возвращаются в колоду) эти формулы неверны.

Типичные ошибки.

• Складывают вероятности вместо того, чтобы считать через противоположное событие: хотя бы одна шестёрка за 3 броска - не 3/6, а 1 - (5/6)^3 примерно 0,4213.
• Считают неравновозможные исходы равновозможными: сумма двух кубиков 7 и 2 выпадает с разной вероятностью.

Как проверить. Вероятность лежит от 0 до 1; вероятность события плюс вероятность противоположного события равна 1.

Формулы - из курса теории вероятностей (Гмурман В. Е., "Теория вероятностей и математическая статистика", главы 1-2): классическое определение вероятности, вероятность противоположного события, вероятность произведения независимых событий.

Вероятность = Благоприятных / Всех исходов, от 0 до 1
Противоположная = 1 - Вероятность
Хотя бы один раз = 1 - Противоположная в степени Испытаний
Все разы подряд = Вероятность в степени Испытаний

• Благоприятных - число благоприятных исходов, Всех исходов - число всех равновозможных исходов, Испытаний - сколько раз повторяется испытание;
• Вероятность - вероятность события, Противоположная - вероятность противоположного события;
• "хотя бы один раз" - событие, противоположное "ни разу", вероятность которого равна противоположной вероятности в степени числа испытаний.

Точность. Вероятности - 6 знаков после запятой, проценты - 4.

Когда ответа нет. Всех исходов 0 - деление на ноль. Благоприятных больше, чем всех, или отношение отрицательно - это не вероятность, калькулятор сообщает, что значение вне диапазона [0; 1]. Без числа испытаний не считаются два последних результата.

Пример. Шестёрка на кубике, 3 броска: благоприятных 1, всех исходов 6, испытаний 3.

Вероятность = 1 / 6 примерно 0,166667 (16,6667%)
Противоположная = 5 / 6 примерно 0,833333
Хотя бы раз = 1 - (5/6)^3 = 1 - 125/216 = 91/216 примерно 0,421296
Все три раза = (1/6)^3 = 1/216 примерно 0,004630

Достоверное событие (благоприятных столько же, сколько всех) даёт вероятность 1, невозможное (благоприятных 0) - вероятность 0.