Калькулятор тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения - основа всей темы: к ним сводятся квадратные, однородные и другие уравнения после преобразований. Калькулятор помогает проверить опорный угол, формулу серии корней и отбор корней на промежутке.

Как ввести данные.

• Выберите вид уравнения: синус, косинус или тангенс неизвестного угла равен числу.
• Введите число. Для синуса и косинуса оно должно лежать от -1 до 1; для тангенса - любое.
• Дроби и корни переведите в десятичную запись: корень(3)/2 примерно 0,8660254, корень(2)/2 примерно 0,7071068. Чем больше знаков, тем ближе опорный угол к табличному.

Как читать ответ.

• Опорный угол - арксинус, арккосинус или арктангенс введённого числа, в радианах и градусах.
• Общее решение - формула всех корней, в ней буквой обозначено любое целое число.
• Корни на [0 градусов; 360 градусов) - два значения. Если корень на промежутке один (косинус или синус угла равен 1), оба поля показывают одно и то же число. Первый корень не обязательно меньше второго.

Чего калькулятор не решает. Уравнения, которые сводятся к простейшим только после преобразований (2 sin^2 угла - sin угла - 1 = 0, sin угла + cos угла = 1), - их сначала нужно преобразовать вручную. Отбор корней на других промежутках делается по формуле общего решения.

Типичные ошибки.

• Для синуса записывают "угол = arcsin числа + 2пи * целое" и теряют вторую серию корней.
• Для тангенса берут период 2пи вместо пи.
• Ищут arcsin 2 - решений нет, так как синус по модулю не больше 1.

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений - из школьного курса (Алимов Ш. А. и др., "Алгебра и начала математического анализа 10-11", глава "Тригонометрические уравнения").

sin угла = Число, модуль Числа <= 1: Угол = (-1) в степени Целое * arcsin Число + пи * Целое
cos угла = Число, модуль Числа <= 1: Угол = плюс-минусarccos Число + 2пи * Целое
tg угла = Число, Число любое: Угол = arctg Число + пи * Целое
Целое - любое целое число: 0, плюс-минус1, плюс-минус2...

Корни на [0 градусов; 360 градусов) калькулятор получает из опорного угла (в градусах):

синус: Первый = Опорный, если Опорный >= 0, иначе Опорный + 360 градусов; Второй = 180 градусов - Опорный
косинус: Первый = Опорный; Второй = 360 градусов - Опорный (при Опорном = 0 оба корня 0 градусов)
тангенс: Первый = Опорный, если Опорный >= 0, иначе Опорный + 180 градусов; Второй = Первый + 180 градусов

Опорный - это arcsin, arccos или arctg введённого числа, переведённый из радианов в градусы. Арксинус лежит в [-90 градусов; 90 градусов], арккосинус - в [0 градусов; 180 градусов], арктангенс - в (-90 градусов; 90 градусов).

Точность. Опорный угол в радианах - 6 знаков после запятой, углы в градусах - 4.

Когда ответа нет. Для уравнений с синусом и косинусом при числе, большем 1 по модулю, корней нет - arcsin и arccos не определены, калькулятор выдаёт ошибку области определения. Пустое поле числа - расчёт не выполняется.

Примеры.

sin угла = 0,5: arcsin 0,5 = пи/6 примерно 0,523599 = 30 градусов; корни 30 градусов, 150 градусов
cos угла = -0,5: arccos(-0,5) = 2пи/3 примерно 2,094395 = 120 градусов; корни 120 градусов, 240 градусов
tg угла = -1: arctg(-1) = -пи/4 = -45 градусов; корни 135 градусов, 315 градусов
cos угла = 1: Угол = 2пи * Целое; на [0 градусов; 360 градусов) один корень 0 градусов