Калькулятор угла между плоскостями

Угол между плоскостями - задача аналитической геометрии в пространстве - курс первого года вуза и стереометрические задачи, решаемые координатным методом.

Как ввести данные. Для каждой плоскости - три коэффициента общего уравнения плоскости: при первой координате (абсциссе), при второй (ординате) и при третьей (аппликате). Ниже они обозначены а, б, в: уравнение плоскости - а * абсцисса + б * ордината + в * аппликата + свободный член = 0. Свободный член на угол не влияет и не вводится.

• Координатная плоскость, на которой абсцисса равна нулю: а = 1, б = 0, в = 0.
• Плоскость "2 * абсцисса - ордината + 2 * аппликата - 5 = 0": а = 2, б = -1, в = 2.

Как читать результат. Косинус угла, угол от 0 градусов до 90 градусов и взаимное расположение: параллельны (или совпадают), перпендикулярны, пересекаются.

Угол между прямой и плоскостью. Этот калькулятор его не считает: там используют синус - sin фи = |нормаль * направляющий вектор| / (|нормаль| * |направляющий вектор|), где направляющий вектор задаёт прямую.

Типичные ошибки.

• Берут тупой угол между нормалями - угол между плоскостями не больше 90 градусов.
• Подставляют свободный член вместо третьего коэффициента.

Как проверить. Если нормали пропорциональны, плоскости параллельны; если их скалярное произведение равно нулю - перпендикулярны.

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями - векторами из коэффициентов (а, б, в) уравнения плоскости (Беклемишев Д. В., "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры", гл. "Плоскость и прямая в пространстве").

Скалярное произведение = а1 * а2 + б1 * б2 + в1 * в2
cos фи = |Скалярное произведение| / (|Нормаль1| * |Нормаль2|)
tg фи = |Векторное произведение| / |Скалярное произведение|
фи = 90 градусов, если скалярное произведение равно 0
Параллельны: векторное произведение нормалей = 0
Перпендикулярны: скалярное произведение нормалей = 0

Длина нормали |Нормаль| = корень(а^2 + б^2 + в^2); индекс 1 или 2 - номер плоскости. Угол считается через арктангенс и переводится из радиан в градусы - так точнее при углах, близких к 0 градусов и 90 градусов.

Точность. cos фи - 6 знаков после запятой, угол - 4.

Когда ответа нет. Все три коэффициента плоскости равны 0 - уравнение не задаёт плоскость, калькулятор сообщает о делении на ноль. Пустое поле - расчёт не выполняется.

Примеры (коэффициенты а, б, в двух плоскостей).

(2, -1, 2) и (1, 2, -2): скалярное = -4, длины 3 и 3, cos фи = 4/9, фи примерно 63,6122 градусов
(1, 0, 0) и (1, 1, 0): cos фи = 1/корень(2), фи = 45 градусов
(1, 0, 0) и (0, 1, 0): 90 градусов, перпендикулярны
(1, 2, 3) и (2, 4, 6): 0 градусов, параллельны или совпадают