Калькулятор угла между прямыми

Угол между прямыми - задача аналитической геометрии в 9-11 классах и на первом курсе. Та же проверка нужна на практике: перпендикулярны ли линии разметки, если известны их уравнения или уклоны.

Как задать прямые.

• Угловыми коэффициентами - для прямых вида "игрек = угловой коэффициент * икс + свободный член" введите угловые коэффициенты первой и второй прямой. Свободный член на угол не влияет.
• Общими уравнениями - для уравнения вида "коэффициент при иксе * икс + коэффициент при игреке * игрек + свободный член = 0" введите коэффициенты при иксе и при игреке для каждой прямой. Свободный член на угол не влияет.

Вертикальную прямую (икс = 5) задайте общим уравнением: коэффициент при иксе 1, при игреке 0.

Как читать результат. Косинус угла, угол от 0 градусов до 90 градусов и взаимное расположение: параллельны (или совпадают), перпендикулярны, пересекаются. Угол между прямыми по определению не больше 90 градусов.

Признаки. Прямые с угловыми коэффициентами первой и второй прямой параллельны, если коэффициенты равны, и перпендикулярны, если их произведение равно -1.

Типичные ошибки.

• Берут в качестве угла тупой угол - между прямыми берут острый.
• Для общего уравнения подставляют свободный член вместо коэффициента при игреке.

Угол между прямыми - угол между их нормальными векторами (коэффициент при иксе; коэффициент при игреке) (Беклемишев Д. В., "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры", гл. "Прямая на плоскости"). Для прямой, заданной угловым коэффициентом, нормаль - (угловой коэффициент; -1).

Скалярное = При иксе1 * При иксе2 + При игреке1 * При игреке2
Косое = При иксе1 * При игреке2 - При иксе2 * При игреке1
cos фи = |Скалярное| / (корень(При иксе1^2 + При игреке1^2) * корень(При иксе2^2 + При игреке2^2))
tg фи = |Косое| / |Скалярное|
Через угловые коэффициенты: tg фи = |(Наклон2 - Наклон1) / (1 + Наклон1 * Наклон2)|
фи = 90 градусов, если Скалярное = 0

При иксе1, При игреке1 и При иксе2, При игреке2 - коэффициенты общих уравнений первой и второй прямой; Наклон1 и Наклон2 - их угловые коэффициенты; фи - угол между прямыми. Угол получается как арктангенс, переведённый из радиан в градусы.

Параллельными калькулятор считает прямые с углом меньше 10^-7 градуса, перпендикулярными - с углом, отличающимся от 90 градусов меньше чем на 10^-7.

Точность. cos фи - 6 знаков после запятой, угол - 4.

Когда ответа нет. Оба коэффициента общего уравнения равны нулю - уравнение не задаёт прямую, калькулятор сообщает о делении на ноль. Пустое поле - расчёт не выполняется.

Примеры.

Наклоны 2 и 3: tg фи = 1 / 7, фи примерно 8,1301 градусов
Наклоны 1 и -1: 1 + 1 * (-1) = 0 -> 90 градусов, перпендикулярны
3 * икс + 4 * игрек - 7 = 0 и 4 * икс - 3 * игрек + 1 = 0: 12 - 12 = 0 -> 90 градусов
Наклоны 0,5 и 0,5: 0 градусов, параллельны или совпадают