Калькулятор уравнения регрессии

Парная линейная регрессия описывает, как в среднем меняется результат при изменении фактора: спрос от цены, выручка от рекламного бюджета, оценка от числа часов подготовки. Это базовая задача эконометрики и статистики.

Как ввести данные. Пары значений - по строке на наблюдение: первое поле - фактор (то, от чего зависит), второе - результат. Для прогноза введите значение фактора - поле необязательное.

Как читать результат.

• Наклон - на сколько в среднем меняется результат при увеличении фактора на единицу.
• Свободный член - значение результата при нулевом факторе.
• Коэффициент корреляции - от -1 до 1: знак - направление связи, модуль - её теснота.
• Коэффициент детерминации - доля разброса результата, объяснённая уравнением.
• Прогноз - Свободный член + Наклон * Фактор для заданного значения фактора.

Ограничения. Прогноз далеко за пределами наблюдённых значений фактора ненадёжен: линейная зависимость может там не выполняться. Корреляция не доказывает причинную связь.

Типичные ошибки.

• Путают местами фактор и результат - уравнение результата по фактору и фактора по результату разные.
• Строят регрессию по двум точкам - коэффициент корреляции всегда равен плюс-минус1.

Метод наименьших квадратов для парной регрессии (Елисеева И. И. (ред.), "Эконометрика", гл. 2; Гмурман В. Е., "Теория вероятностей и математическая статистика", гл. 18). Уравнение: Результат = Свободный член + Наклон * Фактор. Знак сумма - сумма по всем парам, Пар - число заполненных пар.

Числитель = Пар * сумма(Фактор * Результат) - суммаФактор * суммаРезультат
Разброс фактора = Пар * сумма(Фактор^2) - (суммаФактор)^2
Разброс результата = Пар * сумма(Результат^2) - (суммаРезультат)^2
Наклон = Числитель / Разброс фактора
Свободный член = (суммаРезультат - Наклон * суммаФактор) / Пар
Корреляция = Числитель / корень(Разброс фактора * Разброс результата)
Детерминация = Корреляция^2
Прогноз = Свободный член + Наклон * Фактор для прогноза

Точность. Все значения - 6 знаков после запятой.

Когда ответа нет. Все значения фактора одинаковы - разброс фактора равен 0, наклон не определён. Все значения результата одинаковы - коэффициент корреляции не определён (деление на ноль). Поле прогноза пустое - прогноз не считается.

Пример. Пары (1;2), (2;4), (3;5), (4;4), (5;5), прогноз при значении фактора 6.

Пар = 5, суммаФактор = 15, суммаРезультат = 20, сумма(Фактор * Результат) = 66
сумма(Фактор^2) = 55, сумма(Результат^2) = 86
Наклон = (330 - 300) / (275 - 225) = 0,6
Свободный член = (20 - 0,6 * 15) / 5 = 2,2
Корреляция = 30 / корень(50 * 30) примерно 0,774597, Детерминация = 0,6
Прогноз = 2,2 + 0,6 * 6 = 5,8

Пары (0;1), (1;3), (2;5), (3;7): Результат = 1 + 2 * Фактор, корреляция 1. Пары (1;10), (2;8), (3;6): Результат = 12 - 2 * Фактор, корреляция -1.