Калькулятор векторов

Векторы - основа задач по геометрии 9 и 11 классов, аналитической геометрии первого курса и физики: работа силы (скалярное произведение), момент силы (векторное), объём тела по трём рёбрам (смешанное).

Как ввести данные.

• Первый и второй векторы - по три координаты: по осям абсцисс, ординат и аппликат. Для плоских векторов третья координата равна 0.
• Третий вектор - только для смешанного произведения, объёма параллелепипеда и проверки компланарности. Без него эти три строки не выводятся, остальное считается.
• Если вектор задан точками начала и конца, его координаты - разность координат конца и начала.

Как читать результат.

• Скалярное произведение равно 0 - векторы перпендикулярны.
• Угол - от 0 градусов до 180 градусов.
• Модуль векторного произведения - площадь параллелограмма на первом и втором векторах; площадь треугольника - половина.
• Смешанное произведение равно 0 - три вектора компланарны (лежат в одной плоскости); иначе образуют базис, а модуль - объём параллелепипеда.

Типичные ошибки.

• Путают знаки в формуле векторного произведения - проверьте, что результат перпендикулярен обоим векторам.
• Порядок в векторном произведении важен: Б * А = -(А * Б).

Формулы векторной алгебры (Беклемишев Д. В., "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры", гл. 1-2).

Длина А = корень(А1^2 + А2^2 + А3^2)
А плюс-минус Б = (А1 плюс-минус Б1, А2 плюс-минус Б2, А3 плюс-минус Б3)
Скалярное А * Б = А1 * Б1 + А2 * Б2 + А3 * Б3
cos фи = Скалярное / (Длина А * Длина Б)
Векторное А * Б = (А2 * Б3 - А3 * Б2, А3 * Б1 - А1 * Б3, А1 * Б2 - А2 * Б1)
Смешанное = (А * Б) * В, Объём параллелепипеда = модуль смешанного

А, Б, В - первый, второй и третий векторы; индексы 1, 2, 3 - координаты по осям абсцисс, ординат и аппликат; фи - угол между первым и вторым векторами. Угол находится как арккосинус и переводится из радиан в градусы; значение косинуса ограничивается отрезком [-1; 1], чтобы погрешность округления у коллинеарных векторов не давала ложной ошибки. Векторы считаются компланарными, если модуль смешанного произведения меньше 10^-9.

Точность. Координаты, длины и произведения - 6 знаков после запятой, угол - 4.

Когда ответа нет. Если один из векторов нулевой, угол между векторами не определён (деление на ноль). Без третьего вектора не выводятся смешанное произведение, объём и вывод о компланарности.

Пример. А = (1, 2, 3), Б = (4, 5, 6), В = (0, 0, 1).

Длина А = корень(14) примерно 3,741657, Длина Б = корень(77) примерно 8,774964
Скалярное = 4 + 10 + 18 = 32, cos фи примерно 0,974632, фи примерно 12,9332 градусов
Векторное = (-3, 6, -3), его модуль = корень(54) примерно 7,348469
Смешанное = -3, Объём = 3 -> некомпланарны