Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор пригодится при решении задач по алгебре комплексных чисел в вузе и в профильной школе, в электротехнике (комплексные сопротивления и токи), при проверке вычислений вручную.

Как ввести данные. Комплексное число - это действительная часть плюс мнимая часть, умноженная на мнимую единицу. Оно задаётся двумя полями: действительная часть и мнимая часть (коэффициент при мнимой единице). Ниже число записано парой "(действительная часть; мнимая часть)".

• Три минус две мнимые единицы, (3; -2): действительная часть 3, мнимая -2.
• Пять мнимых единиц, (0; 5): действительная часть 0, мнимая 5.
• Число -4, (-4; 0): действительная часть -4, мнимая 0.

Все четыре поля обязательны - ноль нужно ввести явно.

Что получится. Сумма и произведение двух чисел - каждое в виде двух чисел, действительной и мнимой части; модули первого и второго числа. Ответ записывается так: если действительная часть -5, а мнимая 10, то результат - минус пять плюс десять мнимых единиц.

Разность и частное. Отдельных полей для них нет. Разность первого и второго числа получится как сумма, если ввести второе число с противоположными знаками обеих частей. Частное вычисляют вручную умножением на сопряжённое число (см. вопросы ниже).

Типичные ошибки.

• При умножении забывают, что квадрат мнимой единицы равен -1, и складывают произведение мнимых частей вместо вычитания.
• В модуле складывают части без возведения в квадрат.

Как проверить. Модуль произведения равен произведению модулей. Для чисел (3; 4) и (1; 2) произведение (-5; 10), его модуль корень(125) примерно 11,18 = 5 * корень(5).

Действия выполняются по определениям алгебры комплексных чисел, квадрат мнимой единицы равен -1 (Фаддеев Д. К., "Лекции по алгебре", раздел "Комплексные числа").

Сумма, действительная часть = Действительная 1 + Действительная 2
Сумма, мнимая часть = Мнимая 1 + Мнимая 2
Произведение, действительная часть = Действительная 1 * Действительная 2 - Мнимая 1 * Мнимая 2
Произведение, мнимая часть = Действительная 1 * Мнимая 2 + Мнимая 1 * Действительная 2
Модуль первого числа = корень(Действительная 1^2 + Мнимая 1^2)
Модуль второго числа = корень(Действительная 2^2 + Мнимая 2^2)

Действительная 1 и Мнимая 1 - части первого числа, Действительная 2 и Мнимая 2 - части второго.

Формула произведения получается раскрытием скобок: каждая часть первого числа умножается на каждую часть второго, а произведение мнимых частей содержит квадрат мнимой единицы, который заменяется на -1 - поэтому оно вычитается из действительной части. Модуль - расстояние от точки с координатами (действительная часть; мнимая часть) на комплексной плоскости до начала координат.

Точность. Все результаты выводятся с 6 знаками после запятой.

Когда ответа нет. Если не заполнено одно из полей, не считаются результаты, которые от него зависят: например, без мнимой части второго числа не будет его модуля, мнимой части суммы и обеих частей произведения, а модуль первого числа и действительная часть суммы выводятся.

Пример. Первое число (3; 4), второе (1; 2).

Сумма = (3 + 1; 4 + 2) = (4; 6)
Произведение = (3 * 1 - 4 * 2; 3 * 2 + 4 * 1) = (-5; 10)
Модуль первого = корень(9 + 16) = 5
Модуль второго = корень(1 + 4) = корень(5) примерно 2,236068