Калькулятор конуса

Калькулятор решает школьные задачи на конус и практические задачи раскроя: колпак на трубу или столб, воронка, конический абажур, праздничный колпак из картона, конус из ткани. Развёртка - это плоская выкройка, из которой сворачивают боковую поверхность конуса.

Как ввести данные.

• Радиус основания - половина диаметра нижнего круга.
• Высота - расстояние от вершины до плоскости основания по перпендикуляру, а не длина боковой стороны (образующей).
• Единицы любые, но одинаковые. Поля подписаны сантиметрами.

Как построить выкройку. Начертите на листе окружность радиусом, равным образующей (результат "Развёртка: радиус сектора"). Отложите от центра два радиуса под углом, равным "Развёртка: угол сектора", и вырежьте сектор. Для шва добавьте припуск к одному краю.

Усечённый конус. Если у конуса срезана верхушка (ведро, абажур с двумя кольцами), нужен другой расчёт - для него есть отдельный калькулятор усечённого конуса.

Типичные ошибки.

• Вводят образующую вместо высоты.
• Чертят выкройку радиусом, равным радиусу основания, а не образующей.
• Забывают, что объём конуса - треть объёма цилиндра, а не половина.

Как проверить. Образующая всегда длиннее и высоты, и радиуса. Угол развёртки меньше 360 градусов, и чем выше конус, тем он меньше.

Формулы прямого кругового конуса - из курса стереометрии (Атанасян Л. С., "Геометрия 10-11", глава "Цилиндр, конус и шар").

Образующая = корень(Радиус^2 + Высота^2)
Объём = пи * Радиус^2 * Высота / 3
Боковая поверхность = пи * Радиус * Образующая
Полная поверхность = пи * Радиус * (Радиус + Образующая)
Угол развёртки = 360 градусов * Радиус / Образующая
Угол при вершине = 2 * arctg(Радиус / Высота)

• Радиус - радиус основания, Высота - высота конуса, Образующая - по теореме Пифагора в осевом сечении.
• Развёртка боковой поверхности - круговой сектор радиусом, равным образующей. Его угол альфа следует из того, что длина дуги сектора равна длине окружности основания: 2пи * Образующая * альфа / 360 = 2пи * Радиус.
• Угол при вершине - полный угол раствора конуса в осевом сечении.
• пи берётся с точностью 3,14159265358979.

Точность. Все результаты - 4 знака после запятой.

Когда ответа нет. Без радиуса или высоты ничего не считается. При высоте 0 конус вырождается в круг: объём 0, развёртка - полный круг 360 градусов, а угол при вершине не определён (деление на ноль).

Пример. Радиус 3 см, высота 4 см.

Образующая = корень(9 + 16) = 5 см
Объём = пи * 9 * 4 / 3 = 12пи примерно 37,6991 куб. см
Боковая поверхность = пи * 3 * 5 = 15пи примерно 47,1239 кв. см
Полная поверхность = пи * 3 * (3 + 5) = 24пи примерно 75,3982 кв. см
Угол развёртки = 360 градусов * 3 / 5 = 216 градусов
Угол при вершине = 2 * arctg(0,75) примерно 73,7398 градусов

Выкройка: сектор радиусом 5 см с углом 216 градусов.