Калькулятор объёма усечённого конуса

Форму усечённого конуса имеют ведро, воронка, абажур, цветочный горшок, переход между трубами разного диаметра, кожух, бетонная опора. Калькулятор отвечает на два практических вопроса: сколько вмещает ёмкость и как раскроить её боковую поверхность из листа.

Как ввести данные.

• Радиус большего основания и радиус меньшего основания. Радиус - половина диаметра.
• Высота - расстояние между основаниями по оси, а не длина боковой стенки.
• Единицы одинаковые; поля подписаны сантиметрами, объём выводится в куб. см и литрах.

Как построить выкройку. Из одного центра начертите две дуги: радиусом "Развёртка: больший радиус" и радиусом "Развёртка: меньший радиус". Отложите угол "Развёртка: угол сектора" и вырежьте кольцевой сектор между дугами. Добавьте припуск на шов. Длинная дуга станет большим основанием, короткая - малым.

Если радиусы равны. Это цилиндр: объём и площади считаются, но развёртка - прямоугольник, а не сектор, поэтому радиусы сектора не выводятся.

Если меньший радиус равен 0. Получается обычный конус - калькулятор даёт его объём и развёртку.

Типичные ошибки.

• Вводят диаметры вместо радиусов - объём вчетверо больше.
• Вводят длину боковой стенки вместо высоты.
• Путают местами радиусы - меньший радиус больше большего; развёртка тогда получится с отрицательными значениями.

Как проверить. Объём лежит между объёмами цилиндров той же высоты с меньшим и с большим радиусом.

Формулы усечённого конуса - из курса стереометрии (Атанасян Л. С., "Геометрия 10-11", глава "Цилиндр, конус и шар"). Радиусы развёртки получаются достройкой усечённого конуса до полного.

Объём = пи * Высота * (Больший^2 + Больший * Меньший + Меньший^2) / 3
Образующая = квадратный корень из (Высота^2 + (Больший - Меньший)^2)
Боковая поверхность = пи * (Больший + Меньший) * Образующая
Полная поверхность = Боковая поверхность + пи * Больший^2 + пи * Меньший^2
Больший радиус развёртки = Образующая * Больший / (Больший - Меньший)
Меньший радиус развёртки = Образующая * Меньший / (Больший - Меньший)
Угол развёртки = 360 градусов * (Больший - Меньший) / Образующая

• Больший и Меньший - радиусы большего и меньшего оснований, Высота - высота конуса, Образующая - длина боковой стенки по прямой;
• развёртка боковой поверхности - кольцевой сектор; угол следует из равенства длины его большей дуги и окружности большего основания;
• пи берётся с точностью 3,14159265358979; 1 л = 1000 куб. см.

При меньшем радиусе, равном 0, формулы переходят в формулы полного конуса, при равных радиусах объём - в объём цилиндра.

Точность. Все результаты - 4 знака после запятой.

Когда ответа нет. Радиусы равны - радиусы развёртки не определены (деление на ноль), угол равен 0. Не введено любое из трёх полей - расчёт не выполняется.

Пример. Больший радиус 6 см, меньший 4 см, высота 10 см.

Объём = пи * 10 * (36 + 24 + 16) / 3 = 760пи / 3 примерно 795,8701 куб. см примерно 0,7959 л
Образующая = корень(100 + 4) = корень(104) примерно 10,1980 см
Боковая поверхность = пи * 10 * 10,1980 примерно 320,3808 кв. см
Полная поверхность = 320,3808 + пи * 52 примерно 483,7437 кв. см
Радиусы развёртки: 10,1980 * 6 / 2 примерно 30,5941; 10,1980 * 4 / 2 примерно 20,3961 см
Угол = 360 градусов * 2 / 10,1980 примерно 70,6018 градусов