Калькулятор объёма усечённой пирамиды

Усечённая пирамида - это пирамида, у которой срезана верхушка плоскостью, параллельной основанию. Такую форму имеют бункеры и воронки, котлованы с откосами, фундаментные подушки, отвалы и насыпи, декоративные кашпо и клумбы. В школе это задачи по стереометрии 11 класса.

Как ввести данные. Сначала выберите, что известно.

• Стороны двух квадратных оснований - нижнее и верхнее основание - квадраты. Введите их стороны и высоту.
• Площади оснований - основания любой формы (прямоугольники, треугольники, многоугольники), но подобные и параллельные друг другу. Посчитайте площади оснований заранее и введите их. Апофема и боковая поверхность в этом режиме не считаются: у произвольных оснований они не определяются одним числом.
• Высота - расстояние между плоскостями оснований по перпендикуляру, а не длина бокового ребра или апофема.

Единицы. Поля подписаны сантиметрами, объём выводится в куб. см и литрах. Для кубометров разделите литры на 1000 или введите размеры в метрах: тогда поле "Объём" покажет куб. м, а поле литров станет неверным.

Котлован с прямоугольным дном. Если основания - прямоугольники, выберите режим "Площади оснований" и введите площади дна и верха. Формула точна, если верх и дно подобны (стороны в одинаковой пропорции).

Типичные ошибки.

• Вводят длину бокового ребра вместо высоты.
• Считают объём как высоту, умноженную на среднее арифметическое площадей оснований, - это завышает результат.

Как проверить. Объём лежит между произведениями высоты на площадь верхнего и на площадь нижнего основания. Если верхнее основание равно нижнему, получается призма: объём равен высоте, умноженной на площадь основания.

Объём усечённой пирамиды выражается через площади оснований и высоту (Атанасян Л. С., "Геометрия 10-11", глава "Объёмы тел").

Объём = Высота * (Площадь нижнего + Площадь верхнего + корень(Площадь нижнего * Площадь верхнего)) / 3
Для квадратных оснований: Объём = Высота * (Сторона нижнего^2 + Сторона нижнего * Сторона верхнего + Сторона верхнего^2) / 3
Апофема = квадратный корень из (Высота^2 + ((Сторона нижнего - Сторона верхнего) / 2)^2)
Боковая поверхность = 2 * (Сторона нижнего + Сторона верхнего) * Апофема
Объём в литрах = Объём / 1000

• Площадь нижнего и Площадь верхнего - площади оснований; Сторона нижнего и Сторона верхнего - стороны квадратных оснований; Высота - высота пирамиды.
• Формула для квадратов - подстановка в общую формулу площадей, равных квадратам сторон (корень из произведения площадей тогда равен произведению сторон), оба режима на одних данных дают одинаковый объём.
• Апофема - высота боковой грани-трапеции. Боковая поверхность - четыре равные трапеции с основаниями, равными сторонам оснований пирамиды, и высотой, равной апофеме.

Точность. Все результаты выводятся с 4 знаками после запятой.

Когда ответа нет. Без высоты не считаются ни объём, ни апофема. В режиме "Площади оснований" апофема и боковая поверхность не выводятся - они определены только для квадратных оснований. Не заполненное поле выбранного режима не заменяется нулём.

Пример. Квадратные основания 6 и 4 см, высота 10 см.

Объём = 10 * (36 + 24 + 16) / 3 = 760 / 3 примерно 253,3333 куб. см примерно 0,2533 л
Апофема = корень(10^2 + 1^2) = корень(101) примерно 10,0499 см
Боковая поверхность = 2 * (6 + 4) * 10,0499 примерно 200,9975 кв. см

По площадям: нижнее 36, верхнее 16, корень(36 * 16) = 24, объём = 10 * 76 / 3 примерно 253,3333 куб. см - то же число.