Калькулятор площади треугольника

Формула Герона удобна, когда известны только длины сторон, а высоту и углы измерить нельзя или сложно. Это типичная ситуация и в задачах 8-9 класса, и на практике: замер участка неправильной формы рулеткой, площадь треугольного фронтона, раскрой детали.

Как ввести данные. Введите три стороны в одних единицах - площадь получится в квадратах этих единиц: стороны в метрах дают кв. м. Порядок сторон не важен.

Площадь участка неправильной формы. Разбейте участок диагоналями на треугольники, измерьте стороны каждого и сложите площади. Для четырёхугольного участка достаточно измерить четыре стороны и одну диагональ.

Прямоугольный треугольник. Формула Герона работает и для него, но проще: Площадь = Первый катет * Второй катет / 2. Для египетского треугольника 3, 4, 5 оба способа дают 6.

Существует ли треугольник. Каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Если одна сторона равна сумме двух других, точки лежат на одной прямой, и площадь равна 0. Если больше - такого треугольника нет, калькулятор выдаёт ошибку.

Типичные ошибки.

• Подставляют в формулу периметр вместо полупериметра - площадь выходит сильно завышенной.
• Смешивают единицы: две стороны в метрах, одна в сантиметрах.
• Переводят кв. см в кв. м делением на 100 вместо 10 000.

Как проверить. Если известна высота к одной из сторон, площадь должна совпасть с половиной произведения этой стороны на высоту.

Формула Герона выражает площадь треугольника через его стороны (Атанасян Л. С., "Геометрия 7-9", раздел "Формула Герона").

Полупериметр = (Первая сторона + Вторая сторона + Третья сторона) / 2
Площадь = квадратный корень из (Полупериметр * (Полупериметр - Первая сторона) * (Полупериметр - Вторая сторона) * (Полупериметр - Третья сторона))

Стороны - три введённые стороны треугольника, площадь - в квадратах единиц сторон.

Формулу получают из формулы "площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними", выражая синус угла через стороны по теореме косинусов.

Точность. Площадь выводится с 4 знаками после запятой.

Когда ответа нет. Если одна сторона больше суммы двух других, множитель "полупериметр минус эта сторона" отрицателен, подкоренное выражение отрицательно, и калькулятор выдаёт ошибку области определения - треугольника с такими сторонами не существует. Если сторона равна сумме двух других, треугольник вырожден, площадь 0. Без любой из сторон расчёт не выполняется.

Пример. Стороны 3, 4 и 5.

Полупериметр = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
Площадь = корень(6 * 3 * 2 * 1) = корень(36) = 6
Проверка: катеты 3 и 4, площадь = 3 * 4 / 2 = 6

Стороны 1, 2, 3: полупериметр 3, площадь = корень(3 * 2 * 1 * 0) = 0 - вырожденный треугольник. Стороны 1, 1, 10: полупериметр 6, под корнем 6 * 5 * 5 * (-4) = -600 - треугольника нет.