Калькулятор равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник - треугольник с двумя равными сторонами. Он встречается в задачах по геометрии 7-9 классов и в строительстве: фронтон двускатной крыши, пара стропил, треугольная косынка, ферма.

Как ввести данные.

• Основание - сторона, которая не равна двум другим. Для фронтона - ширина дома.
• Боковая сторона - одна из двух равных сторон. Для фронтона - длина ската до конька.
• Единицы одинаковые; поля подписаны сантиметрами.

Существует ли треугольник. Основание должно быть меньше двух боковых сторон вместе, то есть меньше удвоенной боковой стороны. Если основание длиннее, стороны не сомкнутся, и калькулятор выдаст ошибку. Если основание ровно вдвое длиннее боковой стороны, треугольник вырождается в отрезок: высота и площадь равны нулю.

Равносторонний треугольник - частный случай, когда основание равно боковой стороне; все углы по 60 градусов.

Пример из стройки. Дом шириной 6 м, стропила по 5 м от карниза до конька: высота фронтона 4 м, площадь фронтона 12 кв. м, угол наклона ската (угол при основании) примерно 53,13 градусов.

Типичные ошибки.

• Путают основание и боковую сторону - получается другой треугольник.
• Считают высоту к основанию как боковую сторону.

Как проверить. Угол при вершине плюс два угла при основании дают 180 градусов. Площадь равна основанию, умноженному на высоту и делённому на 2.

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой: делит основание пополам. Из получившегося прямоугольного треугольника находятся высота и углы (Атанасян Л. С., "Геометрия 7-9", глава "Треугольники").

Высота = квадратный корень из (Боковая сторона^2 - (Основание / 2)^2)
Площадь = Основание * Высота / 2
Периметр = 2 * Боковая сторона + Основание
Угол при вершине = 2 * arcsin(Основание / (2 * Боковая сторона)), в градусах
Угол при основании = (180 градусов - Угол при вершине) / 2
Радиус вписанной = Площадь / (Периметр / 2)
Радиус описанной = Боковая сторона^2 * Основание / (4 * Площадь)

• Высота - высота, проведённая к основанию;
• радиусы вписанной и описанной окружностей - по общим формулам для любого треугольника: площадь / полупериметр и произведение трёх сторон / (4 * площадь).

Точность. Все результаты - 4 знака после запятой, углы - в градусах.

Когда ответа нет. Если основание больше удвоенной боковой стороны, под корнем отрицательное число - треугольника нет, калькулятор выдаёт ошибку области определения. Если основание ровно вдвое больше боковой стороны, площадь равна 0, и радиус описанной окружности не определён. Без любой из сторон расчёт не выполняется.

Пример. Основание 6 см, боковая сторона 5 см.

Высота = корень(25 - 9) = 4 см
Площадь = 6 * 4 / 2 = 12 кв. см, Периметр = 10 + 6 = 16 см
Угол при вершине = 2 * arcsin 0,6 примерно 73,7398 градусов
Угол при основании = (180 градусов - 73,7398 градусов) / 2 примерно 53,1301 градусов
Радиус вписанной = 12 / 8 = 1,5 см, Радиус описанной = 25 * 6 / 48 = 3,125 см