Калькулятор сторон треугольника

Калькулятор решает задачи на решение треугольника по стороне и двум углам из курса геометрии 9 класса. На практике он нужен, когда расстояние до точки нельзя измерить напрямую: измеряют базовую линию и два угла на её концах, а остальные расстояния находят расчётом.

Как ввести данные.

• Известная сторона - в любых единицах длины (поле подписано сантиметрами).
• Угол альфа - угол, лежащий против известной стороны, в градусах.
• Угол бета - угол против искомой второй стороны, в градусах.
• Если известны два угла, прилежащие к стороне, найдите сначала угол против неё: альфа = 180 градусов - (сумма двух прилежащих углов).
• Углы с минутами переведите в десятичные градусы: 42 градусов30' = 42,5 градусов.

Проверка исходных данных. Сумма альфа и бета должна быть меньше 180 градусов, и каждый угол - больше 0 градусов. Если альфа + бета >= 180 градусов, треугольника не существует: третий угол, третья сторона, периметр и площадь не рассчитываются, калькулятор сообщает об ошибке. При альфа = 0 градусов калькулятор выдаёт ошибку деления на ноль.

Типичные ошибки.

• Вводят угол, прилежащий к известной стороне, вместо противолежащего.
• Путают, против какой стороны лежит угол бета, - тогда вторая и третья стороны меняются местами.

Как проверить ответ. Против большего угла лежит большая сторона. Отношения каждой стороны к синусу противолежащего угла должны быть равны между собой.

Расчёт основан на теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (Атанасян Л. С., "Геометрия 7-9", глава "Соотношения между сторонами и углами треугольника").

Известная сторона / sin альфа = Вторая сторона / sin бета = Третья сторона / sin гамма
гамма = 180 градусов - альфа - бета
Вторая сторона = Известная сторона * sin бета / sin альфа
Третья сторона = Известная сторона * sin гамма / sin альфа
Периметр = Известная сторона + Вторая сторона + Третья сторона
Площадь = Известная сторона * Вторая сторона * sin гамма / 2

• альфа - угол против известной стороны, бета - угол против второй стороны, гамма - угол против третьей стороны.
• Площадь считается как половина произведения двух сторон на синус угла между ними: угол гамма лежит между известной и второй сторонами.
• Углы вводятся в градусах и переводятся в радианы для вычисления синуса.

Сторона и два угла задают треугольник однозначно (признак равенства по стороне и прилежащим углам), поэтому решение всегда одно - в отличие от случая "две стороны и угол не между ними", где решений может быть два.

Точность. Все результаты выводятся с 4 знаками после запятой.

Когда ответа нет. альфа = 0 градусов - синус равен нулю, калькулятор сообщает о делении на ноль. альфа + бета >= 180 градусов - треугольника нет; угол гамма, третья сторона, периметр и площадь не рассчитываются. Без любого из трёх полей расчёт не выполняется.

Пример. Известная сторона 10 см, альфа = 30 градусов, бета = 60 градусов.

гамма = 180 градусов - 30 градусов - 60 градусов = 90 градусов
Вторая сторона = 10 * sin 60 градусов / sin 30 градусов = 10 * 0,866025 / 0,5 примерно 17,3205 см
Третья сторона = 10 * sin 90 градусов / sin 30 градусов = 10 * 1 / 0,5 = 20 см
Периметр = 10 + 17,3205 + 20 примерно 47,3205 см
Площадь = 10 * 17,3205 * 1 / 2 примерно 86,6025 кв. см

Проверка: в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов катет против этого угла равен половине гипотенузы - 10 и 20, сходится.