Калькулятор треугольника

Калькулятор подходит для задач из курса геометрии 9 класса на решение треугольников, для проверки ответов в задачах на формулу Герона и теорему косинусов, а также для бытовых расчётов - например, площади треугольного участка по трём измеренным сторонам.

Как ввести данные.

• Введите три стороны в одних единицах. Поля подписаны сантиметрами, но формулы работают с любыми единицами: в метрах получите площадь в квадратных метрах.
• Порядок сторон важен только для подписи углов: угол альфа лежит против первой стороны, бета - против второй, гамма - против третьей. Высота считается к первой стороне.
• Стороны - положительные числа, дробная часть допускается.

Существует ли треугольник. Каждая сторона должна быть меньше суммы двух других (неравенство треугольника). Если это не так, калькулятор сообщает об ошибке вместо ответа: такого треугольника нет. Например, стороны 1, 2 и 10 треугольник не образуют.

Типичные ошибки.

• Путают полупериметр и периметр в формуле Герона: под корнем стоит полупериметр - половина суммы трёх сторон.
• Берут arccos от отношения без учёта знака: при отрицательном косинусе угол тупой, больше 90 градусов.
• Вводят стороны в разных единицах (метры и сантиметры).

Как проверить ответ. Сумма трёх углов должна быть 180 градусов. Если один угол получился 90 градусов, проверьте теорему Пифагора: квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других. Площадь можно пересчитать через высоту: площадь = первая сторона * высота к ней / 2.

Формулы - из школьного курса планиметрии (Атанасян Л. С., "Геометрия 7-9"): формула Герона, теорема косинусов, связь радиусов окружностей с площадью. Первая, вторая и третья сторона - в порядке полей формы.

Периметр = Первая сторона + Вторая сторона + Третья сторона
Полупериметр = Периметр / 2
Площадь = квадратный корень из (Полупериметр * (Полупериметр - Первая) * (Полупериметр - Вторая) * (Полупериметр - Третья))
альфа = arccos((Вторая^2 + Третья^2 - Первая^2) / (2 * Вторая * Третья)), перевести в градусы
бета = arccos((Первая^2 + Третья^2 - Вторая^2) / (2 * Первая * Третья)), перевести в градусы
гамма = 180 градусов - альфа - бета
Высота к первой стороне = 2 * Площадь / Первая сторона
Радиус вписанной = Площадь / Полупериметр
Радиус описанной = Первая * Вторая * Третья / (4 * Площадь)

• Площадь - по формуле Герона через полупериметр.
• Углы альфа и бета находятся из теоремы косинусов: квадрат первой стороны = вторая^2 + третья^2 - 2 * вторая * третья * cos альфа. Третий угол - как дополнение до 180 градусов, так сумма углов не расходится из-за округления.
• Высота считается к первой стороне; радиусы - вписанной и описанной окружностей.

Точность. Результаты округляются до 4 знаков после запятой, углы - в градусах. Из-за приближённых вычислений прямой угол может показаться как 90,0000.

Когда ответа нет. Если нарушено неравенство треугольника (сумма двух сторон не больше третьей), один из множителей под корнем в формуле Герона становится отрицательным или нулевым, и площадь не определена. Калькулятор выдаёт ошибку области определения: треугольника с такими сторонами не существует. Без любой из трёх сторон расчёт не выполняется.

Пример. Стороны 3, 4 и 5 см.

Периметр = 3 + 4 + 5 = 12 см, полупериметр 6 см
Площадь = корень(6 * 3 * 2 * 1) = корень(36) = 6 кв. см
альфа = arccos((16 + 25 - 9) / 40) = arccos 0,8 примерно 36,8699 градусов
бета = arccos((9 + 25 - 16) / 30) = arccos 0,6 примерно 53,1301 градусов
гамма = 180 градусов - 36,8699 градусов - 53,1301 градусов = 90 градусов
Высота к первой стороне = 2 * 6 / 3 = 4 см
Радиус вписанной = 6 / 6 = 1 см, радиус описанной = 60 / 24 = 2,5 см

Треугольник оказался прямоугольным: 3^2 + 4^2 = 5^2.