Калькулятор квадратных уравнений

Квадратные уравнения встречаются в алгебре 8 класса и дальше повсюду: в задачах на движение и площадь, в физике (время падения тела, траектория), в экономике (точка безубыточности). Калькулятор помогает проверить решение и быстро найти корни.

Как привести уравнение к стандартному виду. Стандартный вид: старший коэффициент * квадрат неизвестного + второй коэффициент * неизвестное + свободный член = 0. Перенесите все члены в левую часть, приведите подобные и выпишите коэффициенты вместе со знаками. Коэффициенты вводятся в поля по порядку: старший, второй, свободный член.

• Квадрат неизвестного минус пять неизвестных плюс 6 равно нулю: коэффициенты 1, -5, 6.
• Два квадрата неизвестного равно 8 минус три неизвестных - переносим всё влево: коэффициенты 2, 3, -8.
• Квадрат неизвестного минус 9 равно нулю: второй коэффициент 0 - ноль нужно ввести явно.
• Три квадрата неизвестного плюс шесть неизвестных равно нулю: свободный член 0.
• Минус квадрат неизвестного плюс два неизвестных плюс 3 равно нулю: старший коэффициент -1.

Как читать ответ.

• Дискриминант больше 0 - два различных корня.
• Дискриминант равен 0 - один корень (два совпадающих): первый корень равен второму.
• Дискриминант меньше 0 - действительных корней нет. Дискриминант выводится, а поля корней показывают ошибку.

Корни выводятся с 4 знаками после запятой. Иррациональные корни (например, 1 + корень(2)) показываются приближённо - в ответе к школьной задаче их обычно записывают через корень.

Типичные ошибки.

• Теряют знак второго коэффициента: в уравнении с коэффициентами 1, -5, 6 он равен -5, а не 5.
• Возводят в квадрат отрицательный коэффициент без скобок: (-5)^2 = 25.
• Делят на старший коэффициент вместо удвоенного старшего коэффициента.

Как проверить. Подставьте корни в уравнение или используйте теорему Виета: сумма корней равна второму коэффициенту со знаком минус, делённому на старший, произведение корней - свободному члену, делённому на старший. Для коэффициентов 1, -5, 6: 2 + 3 = 5, 2 * 3 = 6.

Корни квадратного уравнения находятся по формуле через дискриминант (Макарычев Ю. Н., "Алгебра. 8 класс", раздел "Квадратные уравнения").

Старший * Неизвестное^2 + Второй * Неизвестное + Свободный = 0, Старший != 0
Дискриминант = Второй^2 - 4 * Старший * Свободный
Первый корень = (-Второй + корень(Дискриминант)) / (2 * Старший)
Второй корень = (-Второй - корень(Дискриминант)) / (2 * Старший)

Старший - старший коэффициент (при квадрате неизвестного), Второй - второй коэффициент (при неизвестном), Свободный - свободный член; они вводятся в поля формы по порядку.

Формула получается выделением полного квадрата: Старший * (Неизвестное + Второй / (2 * Старший))^2 = Дискриминант / (4 * Старший). Отсюда видно, что при отрицательном дискриминанте левая и правая части не могут быть равны при действительном значении неизвестного.

Точность. Дискриминант и корни выводятся с 4 знаками после запятой.

Когда ответа нет.

• Дискриминант меньше 0 - квадратный корень из отрицательного числа не определён в действительных числах, калькулятор выдаёт ошибку в полях корней. Комплексные корни не выводятся.
• Старший коэффициент равен 0 - уравнение не квадратное, а линейное; калькулятор сообщает о делении на ноль. Решите его как линейное: неизвестное = -Свободный / Второй.
• Не заполнен любой коэффициент - расчёт не выполняется.

Пример 1. Коэффициенты 1, -5, 6.

Дискриминант = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1
Первый корень = (5 + 1) / 2 = 3
Второй корень = (5 - 1) / 2 = 2

Пример 2. Коэффициенты 1, -4, 4: дискриминант 16 - 16 = 0, оба корня равны 2. Пример 3. Коэффициенты 1, 0, 1: дискриминант -4, действительных корней нет.